Попов Д.Н.. Динамика и регулирование гидро- и пневмосистем. Часть 1. Страница 29

где S_i — корни уравнения В (s) = 0; k_t — кратность корня S_i.

Переходная функция может быть использована для определения закона изменения выходной величины во времени при произвольном законе входного воздействия. Если x_BX (t) — произвольная функция времени, имеющая изображение x_BX (s), то изображе- ниє выходной величины находится по зависимости (2.37). С помощью переходной функции (2.40) эту зависимость можно записать в виде

Правая часть данного соотношения содержит произведение двух изображений и множитель s. Согласно рассмотренным выше свойствам преобразования Лапласа (свойства 6 и 9) этому выражению в пространстве оригиналов будет соответствовать производная по времени от свертки двух функций:

Данная формула называется интегралом Дюамеля. § 2.6. ВЕСОВАЯ ФУНКЦИЯ

Весовой функцией (функцией веса, импульсной переходной характеристикой) называется зависимость w (t) выходной величины от времени при входном воздействии в виде единичной импульсной функции S (^).

Единичной импульсной функцией (единичной 6-функцией) называется функция, равная нулю всюду, кроме точки t = 0, где она стремится к бесконечности, причем так, что интеграл от нее по любому интервалу, включающему точку t = 0, равен единице:

Впервые б-функции были введены Дираком, поэтому в математике эти функции называются его именем.

Весовую функцию можно определить следующим образом. Предположим, что воздействием являются смещенные относительно друг друга ступенчатые функции К Л (t) и —К Л (t — At) (рис. 2.10). Изменение выходной величины во времени при таком воздействии определяется по разности соответствующих переходных функций:

Если теперь увеличивать высоту скачка К и одновременно уменьшать величину смещения At так, чтобы K&t под графиком

§ 2.7. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Особенно удобным для исследования динамических свойств элементов и систем автоматического регулирования является гармоническое входное воздействие

где а_вх — амплитуда входного воздействия; о — угловая частота.

Такое воздействие по сравнению с другими видами детерминированных сигналов проще создать пря проведении экспериментов и, как будет показано ниже, позволяет при минимальном объеме вычислений получить расчетные характеристики, достаточно полно отражающие динамические свойства элементов и систем.

При гармоническом входном воздействии (2.55) закон- измейе- ния выходной величины во времени согласно решению (2.34) имеет две составляющее. Первая из них, определяемая общим решением однородного дифференциального уравнения, характеризует переходный процесс, возникающий в элементе или в системе после приложения гармонического воздействия. Вторая составляющая характеризует вынужденное движение элемента или системы и определяется частным решением неоднородного дифференциального уравнения.