Попов Д.Н.. Динамика и регулирование гидро- и пневмосистем. Часть 1. Страница 49

При изменении (о от —оо до +оо уравнением (5.30) в пространстве коэффициентов характеристического уравнения определяется гиперповерхность, разделяющая это пространство на области значений коэффициентов, которым соответствует различное число корней слева и справа от мнимой оси. Переход из одной области значений коэффициентов в другую' приводит к изменению числа корней, расположенных слева от мнимой оси. Если существует область значений коэффициентов, которой соответствует п корней слева от мнимой оси, то этой областью определяются все возможные значения параметров системы, при которых она устойчива. Выделение в пространстве коэффициентов областей, которым соответствует различное расположение корней на комплексной плоскости, называется D-разбиением.

При необходимости выяснить влияние одного параметра К на устойчивость системы проводится D-разбиение плоскости и находятся области комплексных значений этого параметра. Граница D- разбиения определяется из уравнения (5.30) после приведения его к виду

По зависимости (5.32) для значений о от —оо до +оо на комплексной плоскости коэффициента К проводится граница D-разбиения, причем сначала строится кривая при О < со < +оо, которая затем дополняется зеркальным отображением этой кривой относительно вещественной оси. Полученная граница штрихуется слева при изменении о от —оо до +оо. Переход с незаштрихованной стороны границы на заштрихованную означает, что такое изменение коэффициента К приводит к перемещению корня характеристического уравнения с правой полуплоскости в левую. Если же переход через границу происходит с заштрихованной стороны на неза- штрихованную, то в плоскости корней соответственно корень перемещается из левой полуплоскости в правую.

Для определения значений параметра /(, обеспечивающих устойчивость системы, необходимо среди областей, выделенных границей D-разбиения в плоскости этого параметра, отыскать такую, которой отвечает наибольшее число корней слева от мнимой оси плоскости корней характеристического уравнения. Если это

число будет равно степени характеристического уравнения, то полученная область значений параметра К определяет устойчивость системы.

В качестве примера проведем D-разбиение плоскости параметра /С, входящего в характеристическое уравнение

Решив данное уравнение относительно /С, получим

После подстановки в зависимость (5.34) X — /о имеем

Для значений о от —оо до +-оо на рис. 5.9, ^построена граница D-разбиения, которая выделяет в плоскости параметра К три области /, II и III. Наиболее вероятной областью значений параметра K_f обеспечивающих расположение всех трех корней характеристического уравнения (5.33) в плоскости X (рис. 5.9, б) слева от мнимой оси, является область /, так как попадание в эту область из двух других связано с переходом границы с незаштрихованной ^e^ стороны на заштрихованную. При этом в плоскости X корни перемещаются из правой полуплоскости в левую (стрелки А на рис. 5.9). Для определения числа корней, лежащих слева от мнимой оси плоскости Я, при значениях К в пределах области I вычислим корни уравнения (5.33) при K=O: