Попов Д.Н.. Динамика и регулирование гидро- и пневмосистем. Часть 1. Страница 79

Особые точки, сепаратрисы и предельные циклы по определению А. А. Андронова составляют скелет фазового портрета и являются его основными характеристиками. В расчетах систем автоматического регулирования чаще приходится встречаться с особыми точками и предельными циклами. Необходимость определения сепаратрис возникает сравнительно редко. Особые точки находятся решением уравнений (7.15), при этом могут быть использованы как аналитические, так и графические методы.

Решение задачи о наличии предельных циклов в исследуемой системе иногда может иметь значительные трудности. Однако предельный цикл всегда можно определить построением фазовых траекторий в соответствующей области фазовой плоскости. Фазовая траектория в виде расходящейся от особой точки спирали будет стремиться к устойчивому предельному циклу изнутри, а снаружи к нему будет приближаться фазовая траектория в виде навивающейся спирали (рис. 7.14, а). При неустойчивом предельном цикле фазовые траектории «сматываются» с него как изнутри, так и снаружи (рис. 7.14, б). Такой предельный цикл как любое неустойчивое движение не может существовать в реальной системе.

При неоднозначных нелинейных характеристиках, например, таких, как на рис. 7.3, 7.4 и 7.5, фазовая плоскость не может быть непосредственно применена для исследования движений в системе, так как нарушается однозначное соответствие между положением изображающей точки и состоянием системы. В этих случаях используются многолистные фазовые поверхности.

Для примера определим фазовые траектории на двухлистной фазовой поверхности, когда движение системы описывается уравнениями

В области —х_а < х < х_а данные уравнения перекрывают друг друга, при этом каждой точке фазовой плоскости будут соответствовать два различных состояния системы. С помощью двухлистной фазовой поверхности можно устранить указанную неоднозначность, Определим сначала фазовые траектории, соответствующие уравнению (7.21). Дифференциальное уравнение этих траекторий имеет вид

Интегрируя уравнение (7.22), находим

Фазовые траектории являются параболами, которые в соответствии с уравнениями (7.23) и (7.23^х) заполняют листы I и II фазовой поверхности (рис. 7.15, а). Изображающая точка может покинуть каждый из листов по границам, которые показаны двойными сплошными и штриховыми линиями. Наложив лист I на лист II так, чтобы совпадали их координатные оси, получим фазовую поверхность из двух листов, которые должны быть склеены в тех местах, где лежат указанные выше границы (рис. 7.15, б). На полученной двухлистной фазовой поверхности изображающая точка,