Попов Д.Н.. Динамика и регулирование гидро- и пневмосистем. Часть 2. Страница 29

Для определения производной dQJdt необходимо иметь уравнение, описывающее процесс теплообмена между газом, заключенным в полости пневмоцилиндра, и окружающей пневмоцилиндр средой. Однако с учетом такого уравнения математическая модель пневмопривода становится достаточно сложной; кроме того, коэффициенты теплопередачи для пневмоцилиндра приходится находить экспериментальным путем. Поэтому обычно рассматривают два предельных случая. В первом случае скорость теплопередачи dQjdt предполагается настолько большой, что процесс в полости пневмоцилиндра можно считать изотермическим. Во втором случае принимается dQJdt = 0, что соответствует адиабатному процессу в полости пневмоцилиндра.

Следящие пневмоприводы имеют, как правило', быстродействие, при котором скорость теплопередачи dQJdt оказывается пренебрежимо малой по сравнению со скоростью изменения давления газа в пневмоцилиндре, в связи с чем уравнение (12.133) запишем в предположении адиабатного процесса в полости пневмоцилиндра, т. е. при dQ_T/dt = 0. Подставив значение плотности газа из уравнения (12.130), получим

где

Для правой полости пневмоцилиндра можно применить такое же уравнение, как (12.134), если изменить соответствующим образом индексы у переменных и учесть, что газ вытекает из полости:

Ограничиваясь малыми отклонениями переменных от своих установившихся значений, проведем линеаризацию уравнений (12.134) и (12.135). При этом равновесным будем считать среднее положение поршня пневмоцилиндра, при котором вследствие равенства нулю позиционной нагрузки давления в левой и в правой полостях будут одинаковыми:

Кроме того, примем температуры газа в трубопроводах от распределителя к пневмоцилиндру постоянными и равными температуре T^o₀ при равновесном положении поршня пневмоцилиндра:

Последнее допущение может быть использовано только при малых отклонениях температуры газа в пневмоприводе, так как, если в трубопроводе, подводящем газ от распределителя к пневмоцилиндру, изменения температуры вообще незначительны, то в трубопроводе, отводящем газ из полости пневмоцилиндра, температура изменяется почти как в этой полости [13].

После линеаризации уравнений (12.134) и (12.135) имеем

Заметим, что в предположении изотермического изменения состояния газа при малых отклонениях поршня пневмоцилиндра от равновесного положения можно было бы уравнение вида (12.139) получить, применив вместо уравнений энергии (12.134) и (12.135) уравнения массовых расходов (12.131) и (12.132). При этом в коэффициенте при dpjdt имели бы вместо адиабатического модуля объемной упругости газа B_ar изотермический модуль объемной упругости газа В_иг. Так как